PENGERTIAN GEOMETRI HIPERBOLIK

A.    PENGERTIAN GEOMETRI HIPERBOLIK

            Geometri hiperbolik merupakan salah satu bentuk dari geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid. Didalam geometri Euclid terdapat lima postulat (aksioma/teorema) yang sangat terkenal. Empat postulat pertama sangat jelas dan mudah dibuktikan oleh para matematikawan pada saat itu, tetapi postulat yang kelima menimbulkan perdebatan diantara para matematikawan. Postulat kelima tersebut dikenal dengan postulat kesejajaran geometri euclid. Hal inilah yang menjadi titik tolak munculnya geometri non-euclid. Geometri hiperbolik adalah geometri yang menggunakan empat postulat geometri Euclid dan mengganti postulat kesejajaran hiperbolik. Akibat pergantian postulat ini terjadi sifat antara geometri Euclid dan geometri hiperbolik salah satunya adalah jumlah ukuran sudut segitiga. Pada geometri Eucilde jumlah ukuran sudut segtiga dalah 180 derajat. Sedangkan pada geometri hiperbolik jumlah ukuran sudut segitiga kurang dari 180 derajat.

            Setelah karya Gauus, Lobachevsky dan bolyai, muncul pertanyaan  yang lain “seperti apakah model dari geometri hiperbolik?”. Pertanyaan ini terjawab Eugenio Beltrami tahun 1868, Dia yang pertama kali menunjukkan bahwa bidang yang berbentuk pseudosphere mempunyai kelengkungan yang sesuai untuk model sebagian ruang hiperbolik. Awalnya Lobachevsky menamakan geometri temuannya dengan sebutan “Geometri eImaginaire” karena dia belum bisa memahami model untuk jenis geometrinya. Geometri hiperbolik diperkenalkan oleh Felik Klein tahun 1871. Geometri hiperbolik sering jaga disebut geometri Lobachevsky, untuk memudahkan dan menandai karya lobachevsky sehingga postulatnya dikenal dengan postulat kesejajaran lobachevsky.

B.      MODEL GEOMETRI HIPERBOLIK

Geometri Hiperbolik : segiempat Saccheri

Kali ini kita akan lebih mengenal salah satu konsep dalam geometri hiperbolik yaitu segiempat Saccheri. Boleh dibilang konsep ini adalah salah satu konsep yang mempelopori adanya geometri non-Euclid. Sepertinya postulat ke-5 dari Euclid menjadi dasar dari fenomena ini. Bahkan  para ahli geometri terdahulu lebih menganggap postulat ini sebagai teorema dari pada aksioma.

Gambar A. SegiempatSaccheri

Disebut segimepat Saccheri, karena untuk mengormati sumbangsih Geralomo Saccheri yang telah tercatat hampir menemukan geometri non-Eulcide.

Segiempat Saccheri adalah sebuah segiempat ABCD dengan dua sudut siku-siku berdekatan yaitu pada A dan B, dengan sisi AD≃DC. Sisi AB disebut sisi alas dan sisi DC disebut sisi atas.

Nanti akan kita temukan bahwa aksioma hiperbolik mengakibatkan sudut C dan D pada Gambar A bukan sudut siku-siku seperti apa yang berlaku pada geometri Euclid. Uniknya pada segiempat Saccheri ini memiliki teorema-teorema yang berlaku baik pada geometri Euclid maupun hiperbolik. Hal ini mungkin karena dalam pembuktiannya, teorema-teorema itu menggunakan empat postulat pertama Euclid dan konsep geometri hiperbolik.

C.     SIFAT-SIFAT GEOMETRI HIPERBOLIK

›  Jika diberikan garis l dan titik P di luar l, maka terdapat lebih dari satu garis yang melalui P dan paralel dengan l.

›  Jumlah sudut pada segitiga  kurang dari pada 180º.

›  Jika dua garis paralel dilalui oleh sebuah garis, maka besar sudut-sudut yang berseberangan besarnya tidak sama.

›  Bisa dibuat persegi panjang.              

›  Terdapat dua segitiga yang serupa, lebih dari itu terdapat dua segitiga yang kongruen. 

›  Ada 2 garis yang berjarak sama di mana-mana.