Sabtu, 30 Mei 2015
PENGERTIAN GEOMETRI HIPERBOLIK
A. PENGERTIAN
GEOMETRI HIPERBOLIK
Geometri hiperbolik merupakan salah satu bentuk dari
geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat
kesejajaran euclid. Didalam geometri Euclid terdapat lima postulat
(aksioma/teorema) yang sangat terkenal. Empat postulat pertama sangat jelas dan
mudah dibuktikan oleh para matematikawan pada saat itu, tetapi postulat yang
kelima menimbulkan perdebatan diantara para matematikawan. Postulat kelima
tersebut dikenal dengan postulat kesejajaran geometri euclid. Hal inilah yang
menjadi titik tolak munculnya geometri non-euclid. Geometri hiperbolik adalah
geometri yang menggunakan empat postulat geometri Euclid dan mengganti postulat
kesejajaran hiperbolik. Akibat pergantian postulat ini terjadi sifat antara
geometri Euclid dan geometri hiperbolik salah satunya adalah jumlah ukuran sudut segitiga. Pada geometri
Eucilde jumlah ukuran sudut segtiga dalah 180 derajat. Sedangkan pada geometri
hiperbolik jumlah ukuran sudut segitiga kurang dari 180 derajat.
Setelah karya Gauus, Lobachevsky dan bolyai, muncul
pertanyaan yang lain “seperti apakah
model dari geometri hiperbolik?”. Pertanyaan ini terjawab Eugenio Beltrami
tahun 1868, Dia yang pertama kali menunjukkan bahwa bidang yang berbentuk
pseudosphere mempunyai kelengkungan yang sesuai untuk model sebagian ruang
hiperbolik. Awalnya Lobachevsky menamakan geometri temuannya dengan sebutan
“Geometri eImaginaire” karena dia belum bisa memahami model untuk jenis
geometrinya. Geometri hiperbolik diperkenalkan oleh Felik Klein tahun 1871.
Geometri hiperbolik sering jaga disebut geometri Lobachevsky, untuk memudahkan
dan menandai karya lobachevsky sehingga postulatnya dikenal dengan postulat
kesejajaran lobachevsky.
B.
MODEL GEOMETRI
HIPERBOLIK
Geometri Hiperbolik : segiempat
Saccheri
Kali
ini kita akan lebih mengenal salah satu konsep dalam geometri hiperbolik yaitu
segiempat Saccheri. Boleh dibilang konsep ini adalah salah satu konsep yang
mempelopori adanya geometri non-Euclid. Sepertinya postulat ke-5 dari Euclid
menjadi dasar dari fenomena ini. Bahkan
para ahli geometri terdahulu lebih menganggap postulat ini sebagai
teorema dari pada aksioma.
Gambar
A. SegiempatSaccheri
Disebut
segimepat Saccheri, karena untuk mengormati sumbangsih Geralomo Saccheri yang
telah tercatat hampir menemukan geometri non-Eulcide.
Segiempat
Saccheri adalah sebuah segiempat ABCD dengan dua sudut siku-siku berdekatan yaitu
pada A dan B, dengan sisi AD≃DC. Sisi AB disebut sisi alas dan sisi DC disebut sisi atas.
Nanti
akan kita temukan bahwa aksioma hiperbolik mengakibatkan sudut C dan D pada Gambar
A bukan sudut siku-siku seperti apa yang berlaku pada geometri Euclid. Uniknya pada
segiempat Saccheri ini memiliki teorema-teorema yang berlaku baik pada geometri
Euclid maupun hiperbolik. Hal ini mungkin karena dalam pembuktiannya,
teorema-teorema itu menggunakan empat postulat pertama Euclid dan konsep geometri
hiperbolik.
C. SIFAT-SIFAT
GEOMETRI HIPERBOLIK
Jika
diberikan garis l dan titik P di luar l, maka terdapat lebih dari satu garis yang
melalui P dan paralel dengan l.
Jumlah
sudut pada segitiga kurang dari pada
180ยบ.
Jika
dua garis paralel dilalui oleh sebuah garis, maka besar sudut-sudut yang
berseberangan besarnya tidak sama.
Bisa
dibuat persegi panjang.
Terdapat
dua segitiga yang serupa, lebih dari itu terdapat dua segitiga yang
kongruen.
Ada
2 garis yang berjarak sama di mana-mana.
Kamis, 07 Mei 2015
Langganan:
Postingan (Atom)